既然是三维的，而我们又在三维空间里。两个物体在不被破坏的情况下是不能重合的，而影子应该也是这样。然而，贡萨洛没有看到影子相互排斥。这就说明影子不是三维的，或者它是不是实在的存在。通过分析，贡萨洛得出结论：原因是影子不是实在的存在。物体的形状是不会改变的，而纯粹的形状则会改变。为什么呢？因为纯粹的形状有很多分形，而分形也有自己的分形。一级一级下去，没有尽头。所以，纯粹的形状由于分形众多，稳定性就差。物体的形状虽然也如此，但是它是有限的层级。也就是说纯粹的形状不稳定的真正原因是无限，而无限本身就是一个极其不稳定的状态。当然，在数学中有很多种无限。而这里的无限就是其中一种。贡萨洛认为无论哪种物体达到哪种无限，它都会处于不稳定状态。在自然条件下，无限会衰变成有限。
他把三角尺放在钢笔上，然后用光源照射。他发现尺子竟然弯曲了。这说明影子的形状其实是可以通过光学规律而人为创造出来。他想自己的纯粹形状说法就是不正确的。因为影子是物体的纯粹形状。按理来说，影子的形状是不会受到外物的影响。而事实恰好相反。这说明自己的说法存在漏洞，那么问题究竟出在哪里呢？突然，他注意到这是几何组合。有个问题，书堆到底是一个物体还是多个物体？事实上，这个问题在光学里早有答案。没错，书堆就是一个物体。这样一来就容易解释了。既然是整体，影子必然要合并。因为是组合，又可以分开。所以，它们的影子又可以独立。整体性说明几何组合的不同看待方式，表示的是几何组合的多种解释。
他又用光源照射塑料凳的圆孔，结果就得到了一个复杂的影子。如果再探讨下去，就属于物理的范畴了。不过，为了数学，他也管不了这些。这是小孔成像原理的体现。这一发现又再次考验了纯粹形状的说法。这次，他必须用物理来解释了。光源的光束呈现圆锥分散型，而小孔无疑放大了这一特点。我们以为光源照射小孔，那么影子必然是小孔里面的东西。其实，这是错误的看法。其中，就是忽略了光束是圆锥分散型传播一大特点。想到这里，贡萨洛就找到阿我拉和阿斯。然后，他就把自己的纯粹形状说法告诉了她们。她们听后全都由衷佩服，知道贡萨洛确实用心了。她们知道数学分会有未来了，也就放心了。于是，就和贡萨洛一起研究。
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